זו מערכת ישרת זוית )קרטזית( אשר בה יש לנו 2 צירים מאונכים זה לזה. באותו מישור ניתן להגדיר נקודה על ידי זוית ורדיוס וקטור

Transcription

1 קארדינטת קטבית y p p p במישר,y הגדרנ נקדה על ידי המרחקים מהצירים. ז מערכת ישרת זית )קרטזית( אשר בה יש לנ צירים מאנכים זה לזה. באת מישר ניתן להגדיר נקדה על ידי זית רדיס קטר. (, ) הרדיס קטר מסתבב )נגד כין השען +( סביב נקדת הייחס. y מערכת קטבית מערכת קרטזית P(;y) P(; ) נקדת ייחס O נקדת ייחס O הרדיס קטר מסתבב מהציר החיבי של ה X נגד כין השען. הזית נמדדת מציר עד לרדיס קטר. הא מרחק מהראשית לנקדה בכין של נקדת הייחס )הקטב( הא ),( לכן תמיד ייחשב חיבי. (, ) במערכת הקטבית כל נקדה במישר מגדרת ע"י פרמטרים זה אמר ששני הפרמטרים., מגדירים נקדה אחת יחידה במישר, אבל נקדה אינה מגדירה חד ערכית את, להית הזית יכלה n * נגדיר עכשי זית הנקראת רדיאן.

2 + ad ad ad O X 4.. על קשת של חצי מעגל )זית שטחה( נכנסים רדיס קטר שזה המספר שאנ מכירים.בקשת של מעגל שלם נכנסים רדיאנים. מכאן אנ ידעים שהיקף המעגל הא. 9 ז זית ברדיאנים של 8. מכאן מתאים לזית של כ'..6 זית של רדיאן. היא 57. כאשר מעגל שלם הא נח מאד לעבד ברדיאנים כשמדבר בקשת של פנקציה. l * l קשת של רדיאנים ארכה הא - * s שטח המעגל הא שטח גזרה הא כל הפעלת המתמטית פעלת באפן שה במערכת הקרטזית (;y) ( ; במערכת הקטבית ( אלם המשמעת תהיה שנה לגמרי. למשל X*Y במערכת הקרטזית יתן את שטח המלבן אתה פעלה * במערכת הקטבית תתן לנ את ארך הקשת של הגזרה אשר בזית כפי שראינ. באת אפן הפנקציה y תתן ק אפקי מקביל לציר ה איל.. הפנקציה תתן לנ מעגל שרדיס הא sin y sin() נראה את הפנקציה את הפנקציה

3 שתי הפנקצית זהת מבחינת הצרה אלם משמעתם שנה, מאחר לכל אחת מהפנקצית יש משתנים שנים. y =sin במערכת קרטזית y=sin במערכת קטבית נקדת ייחס ):( שים לב כאשר < ה sin שלילי ה )מרחק מהראשית בכין ) ניקח תמיד. dy y' tan d כך גם לגבי הנגזרת במערכת (;y) הנגזרת? d ' d איז משמעת תהיה לביטי במערכת הקטבית הנגזרת lim ' גם במערכת הקטבית הגדרת הנגזרת תהיה זהה f ( ) f ( ) יש לנ פנקציה () f - שם

4 נראה את הגרף הבא F(; ) L K P P O X המשיק. OP P P K 9 LP ה הא הקטע הזית הזית היא הזית שבין הרדיס קטר לבין המשיק )בגרף כאשר מאד ל אפשר לראת את קשת העקמה קרבה כק ישר כפי שראינ( OP s OP 8 ( ) P OP : OP P P במשלש הזית היא בין שני הרדיסים. - OP P מהגיאמטריה במשלש הזית sin sin[8 ( )] sin[8 ( )] sin( ) sin * cos sin * cos לפי משפט הסינסים ידע כי

5 sin sin * cos sin * cos לכן נחלק את המכנה בשני האגפים ב cos נקבל sin cos [sin * cos ) sin * cos ] cos tan sin tan * cos (sin tan *cos ) נכפיל בהצלבה * tan sin * tan tan * cos sin sin tan cos ( cos ) אם אז נחלק ב ממש. כאשר ראינ שמתר אז לעשת זאת כי הא שאף לאפס לא אפס lim sin * cos ( ) נעבר לגבל lim cos lim sin ראינ כי tan ' y' tan מכאן נקבל אנ ראים אם במערכת קרטזית הנגזרת היתה כאן במערכת קטבית אנ מקבלים כי הנגזרת היא הרדיס ביחס ' tan לזית שבינ לבין המשיק בנקדה.

6 במערכת קטבית שיטת הגזירה היא כמ בקרטזית רק המשמעת שנה. מה הקשר בין הזית הקטבית שבמערכת הקרטזית לבין במערכת אם נסתכל על הגרף נראה כי כאשר הרדיסים מתלכדים אז הזית היא חיצנית למשלש - ( אזי ). sin מה תהיה הנגזרת מה תהיה. 4 דגמאת.. נתנה הפנקציה הזית בנקדה ' cos tan נגזר את הפנקציה cos 4 sin 4 4 נחשב את בנקדה sin * נציב בפנקציה ' cos נחשב את הנגזרת בנקדה tan. מכאן את הזית בין הרדיס למשיק 48 נתן 4sin חשב את בנקדה. 4 cos sin ' 4cos * 8cos 4 sin sin.866 נחשב את נגזר 4cos '

7 tan ' 4sin 4cos 4cos 4cos 6 הזית.) נתן 9cos מצא את זית המשיק לציר )ז הזית.4 ' 9*( sin ) *. 6 בנקדה כמ קדם נגזר 9sin ' 9cos tan cot 9sin 9sin cot tan 6 6 (cot 6 tan ) 6 הזית tan נציב זאת (8 ) נחשב את הזית זית לציר ה. היא זית שטחה זה אמר שהמשיק בנקדה ז מקביל כיצד נמצא במערכת קטבית משיקים אפקיים אנכיים? שים לב כאן זה לא מכסימם מינימם! כפי שבמערכת קרטזית (;y) ראינ בדגמא 4 את הזית שם קבלנ משיק אפקי. לפי ה tan נכל לדעת באם המשיק הא אפקי א אנכי.

8 tan tan במצב אפקי ה נראה כיצד למצא זאת: במצב אנכי ה ראינ ש- tan tan tan tan( ) tan *tan נסתכל על d ' d d ' d tan ' d sin tan tan tan d cos tan * tan d sin * d cos נציב זאת d נכפיל מנה מכנה ב d * cos d sin cos 'sin tan d cos d sin ' cos sin * d cos tan מכאן נכל לדעת כאשר המנה הא אפס אז אפקי כאשר המכנה הא אפס אז ה נקבל משיק אנכי. נקבל משיק tan דגמא: נתן sin ראשית נגזר מצא משיקים אפקיים משיקים אנכיים. cos 'sin tan ' cos sin ' cos מתך הנסחא שקבלנ ( sin )cos cos *sin tan cos * cos ( sin )sin ' נציב את כאשר המנה אפס משיקים אפקיים ( sin )cos cos *sin ( sin )cos cos *sin cos ( sin sin )

9 ) sin 7 ;; 6 6 cos נקבל א הפתרנת האפשריים א ;; 7 9 לגבי המכנה ב ב )זה כן ב ב cos *cos ( sin )sin cos sin sin sin sin 5 ( 6 ) ( 6 ) (7 לפי משאה ) ריבעית כאן יש משיקים אנכיים. זית חיתך בין פנקצית במערכת קטבית F (, ) נתנת שתי פנקצית F (, א. ( ב. שתי הפנקצית נחתכת בנקדה. P נקדת החיתך מקיימת את שתי הפנקצית לכן כאשר נשה אתן F (, ) F (, נקבל את נקדת החיתך ( זית החיתך היא בין המשיקים של הפנקצית בנקדת ההשקה. tan ' ראינ שהזית בין המשיק לרדיס קטר היא הזית בין שני המשיקים היא ראה הגרף שה ל

10 F(; ) P F(; ) O X המשיק לF המשיק לF tan tan tan tan( ) tan * tan tan ' tan ' נציב בנקדת ההשקה. tan tan tan tan * tan cos ' ' ' * ' cos :. דגמא: נתנת הפנקצית נמצא את נקדת החיתך : cos cos 4 cos ( ), (4 ) יש לנ שתי נקדת חיתך. נציב באחת הפנקצית נחשב את הרדיס קטר.5 P(.5; ) ' sin 4 P (.5; ) נקדת החיתך הן נגזר את הפנקצית ' sin : :.

11 נתשב את ערכי הנגזרת בנקדת החיתך.5 sin.866 tan.866 '.7 ' sin.866 tan tan.7 (.7 *.7) נציב זאת נקבל מכאן באת אפן בצע נראה את הגרף לנקדה השניה =+cos =-cos